Sudoku, saiba mais sobre esse incrivel passatempo!

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Sudoku, por vezes escrito Su Doku, (Em japonês: 数独, sūdoku) é um puzzle baseado na colocação lógica de números. O objetivo do puzzle é a colocação de números de 1 a 9 em cada uma das células vazias numa grelha de 9×9, constituída por 3×3 subgrelhas chamadas regiões. O puzzle contém algumas pistas iniciais.
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Cada coluna, linha e região só pode ter um número de cada um dos 1 a 9. Resolver o problema requer apenas raciocínio lógico e algum tempo. Os problemas são normalmente classificados em relação à sua realização. O aspecto do puzzle Sudoku lembra outros puzzles de jornal.




História
O puzzle foi projetado por Howard Garns, um arquiteto aposentado de 74 anos de idade e construtor independente de puzzles, baseando-se, provavelmente, no quadrado latino, uma construção matemática criada pelo suíço Leonhard Euler no século XVIII. Garns adicionou ao quadrado latino uma terceira dimensão e apresentou sua nova criação como um puzzle formado por uma grade parcialmente preenchida onde o solucionador deveria preencher os demais quadros vazios. As primeiras publicações do puzzle ocorreram nos Estados Unidos no final dos anos 1970 na revista americana Math Puzzles and Logic Problems, da editora Dell Magazines, especializada em desafios e quebra-cabeças. A editora deu ao jogo o nome de Number Place, que é usado até hoje nos Estados Unidos. Em 1984, a Nikoli, maior empresa japonesa de puzzles, descobriu o number place e decidiu levá-lo ao Japão. No Japão, os jogos numéricos são mais populares que palavras-cruzadas e caça-palavras, que não funcionam muito bem na língua japonesa. Em 1986, depois de alguns aperfeiçoamentos no nível de dificuldade e na distribuição dos números, o sudoku tornou-se um dos puzzles mais vendidos do Japão.

Apesar de toda a popularidade no Japão, o sudoku não conseguiu atrair a mesma atenção no Ocidente até o final de 2004, quando Wayne Gould - um juiz aposentado de Hong Kong, que também era fã de puzzles e programador de computador - viajou a Londres para convencer os editores do The Times a publicar o sudoku. Gould havia criado um programa de computador que gerava jogos de sudoku com vários níveis de dificuldade e não estava cobrando nada por ele.

publicou seu primeiro sudoku. No O Times decidiu arriscar e no dia 12 de novembro de 2004Brasil O Sudoku é publicado pela Coquetel (Ediouro) desde o início de 2005 e em Portugal, começou a ser publicado em maio de 2005 pelo jornal Público, atualmente diversas editoras publicam o puzzle.

Introdução

O nome Sudoku é a abreviação japonesa para a longa frase,suuji wa dokushin ni kagiru (数字は独身に限る) que significa os dígitos devem permanecer únicos; e é uma marca registrada da Nikoli Co. Ltd no Japão. Em japonês a palavra é pronunciada [sɯːdokɯ] , em português pronuncia-se sudóku. Outras editoras japonesas referem-se ao jogo como colocando os números, ou como “Nanpure”. Algumas editoras não japonesas soletram o título como “Su Doku”. Os numerais nos jogo Sudoku são usados por comodidade; as relações aritméticas entre numerais são absolutamente irrelevantes (não requer lógica para cálculos matemáticos).

Qualquer combinação de símbolos distintos como letras, formas, ou cores podem ser usadas no jogo sem alterar as regras (Penny Press Scramblets e Knight Features Syndicate’s Sudoku Words usam letras). Dell Magazines , o criador do jogo, tem utilizado números para Number Place em suas revistas desde a sua primeira publicação em 1979. Numerais são utilizados através deste artigo.

A atração do jogo é que as regras são simples, contudo, a linha de raciocínio requerida para alcançar a solução pode ser complexa. O Sudoku é recomendado por alguns educadores como um exercício para o pensamento lógico. O nível de dificuldade pode ser selecionado para combinar com o público. Existem diversas fontes na internet não ligadas a editoras que disponibilizam os jogos gratuitamente.

Como Jogar O jogo é mais frequentemente uma grade de 9×9 constituída de sub-grades de 3×3 chamadas de regiões (outros termos incluem caixas, blocos, algumas vezes porém o termo quadrante é utilizado, apesar de ser um termo impreciso para uma grade de 3×3).

Algumas células já contém números, chamadas como números dados (ou algumas vezes pistas). O objetivo é preencher as células vazias, com um número em cada célula, de maneira que cada coluna, linha e região contenham os números 1–9 apenas uma vez. Portanto, na solução do jogo, cada número aparece apenas uma vez em qualquer um dos sentido ou regiões, daí portanto “únicos números” originaram o nome do jogo ou enigma.

Métodos de Solução

A estratégia para resolver um enigma (francês) pode ser considerada como compreender uma combinação de três processos: fazer uma varredura visual, fazer marcações, e análise.

Varredura

A varredura é executada no início e durante toda a solução. As varreduras somente têm que ser executadas uma vez entre períodos da análise.
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A varredura consiste em apenas duas técnicas básicas:

  • Cruzamento: a varredura das linhas (ou colunas) para identificar que linha em uma região particular pode conter um determinado numero por um processo do eliminação. Este processo é repetido então com as colunas (ou linhas). Para resultados mais rápidos, os números são verificados por ordem de freqüência. É importante executar sistematicamente este processo, verificando todos os dígitos 1–9.
  • Contar de 1–9 nas regiões, linhas, e colunas para identificar os números faltantes. contar baseada no último número descoberto pode fazer com que a busca seja mais rápida. Também pode ser o caso (tipicamente em enigmas mais difíceis) que a maneira a mais fácil verificar o valor de uma célula individual é contando no inverso — isto é, fazendo a varredura da região da célula, linha, e coluna para identificar os valores que não podem ser, a fim de se descobrir o que resta.

Os solucionadores avançados procuram contingências ao fazer a varredura —isto é, estreitando a posição de um numeral dentro de uma fileira, coluna, ou região a duas ou três células. Quando estas células todas se encontrarem dentro da mesma fileira (ou coluna) e região, elas podem ser usadas para finalidades de eliminação durante as etapas de cruzamento e contar (Exemplos de contingência em Puzzle Japan).

Particularmente os enigmas mais desafiadores podem requerer múltiplas contingências para serem descobertos, talvez em direções múltiplas ou mesmo cruzamentos múltiplos. Os enigmas que podem ser resolvidos apenas fazendo-se a varredura sem necessidade de detectar as contingências são classificados como enigmas fáceis; enigmas mais difíceis, por definição, não podem ser resolvido pela varredura básica somente.


Marcações

Fazer a varredura e determinar quando mais nenhum numero adicional pode ser descoberto. Deste ponto em diante, é necessário fazer algumas análise lógicas. Muitos acham útil guiar esta análise através da marcação dos números possíveis (candidatos) nas células em branco. Há duas formas populares: notação subscrita e pontos.

  • Na notação subscrita os números possíveis são escritos subscritos (tamanho pequeno). O inconveniente a este é que os puzzles originais impressos em um jornal são geralmente demasiado pequenos para acomodar mais do que alguns dígitos da escrita normal. Quando utiliza-se da notação subscrita, o solucionador geralmente cria uma copia maior do puzzle e utiliza um lápis bem apontado ou lapiseira.
  • A segunda notação usa um padrão de pontos dentro de cada quadrado, onde a posição do ponto representa um número de 1 a 9. Os esquemas do ponto diferem e um método é ilustrado aqui. A notação do ponto tem a vantagem que pode ser usada no enigma original. A destreza é necessária para colocar os pontos, já que os pontos posicionados em lugares errados ou inadvertidos conduzem inevitávelmente à confusão e podem não serem fáceis de apagar sem gerar mais confusão. É recomendado utilizar um lápis bem apontado com uma borracha na extremidade.

Uma técnica alternativa, que alguns acham mais fácil, é marcar os números de uma célula que não podem ser. Assim uma célula começará vazia e quanto mais restrições se tornam conhecidas, vai-se lentamente preenchendo. Quando somente uma marca ou número faltar, aquele deverá ser o valor da célula. Uma vantagem deste método de marcação é que, pressupondo que nenhum erro seja feito e as marcas podem sobrescritas com o valor da célula, não há mais necessidade de borracha para apagar.

Ao usar a marcação, uma análise adicional pode ser executada. Por exemplo, se um dígito aparecer somente uma vez nas marcações escritas dentro de uma célula, então está claro qual o dígito que deve estar lá, mesmo se a célula tiver outros dígitos marcados. Ao usar a marcação, algumas regras similares aplicadas em uma ordem especifica podem resolver todo o Sudoku sem necessidade de retornar os passos anteriormente feitos.

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Analise Ponderadamente

As duas principais metodologias para a análise são a eliminação do candidato e tentativa-erro.

  • Na eliminação do candidato, o progresso é feito através de sucessivas eliminações de números candidato de uma ou mais células para deixar apenas uma opção. Depois que cada resposta foi conseguida, uma outra varredura pode ser executada, geralmente verificando os efeitos das contingências (incertezas).

A metodologia da eliminação do candidato trabalha-se identificando ‘’células combinadas’’. As pilhas seriam combinadas dentro de uma linha particular, coluna, ou região (bloco) se duas células contiverem o mesmo par de números candidatos (p,q) e mais nenhum outro, ou se três células contiverem o mesmo trio de números candidatos (p,q,r ) e mais nenhum outro.

A colocação destes números seja lá onde mais for dentro desse mesmo bloco, faria com que a solução das células combinadas impossível; assim, os números candidatos (p,q,r) que aparecerem em outras células da mesma linha, coluna ou região (bloco) podem ser eliminadas. Este princípio funciona também com subconjuntos dos números candidatos, isto é, se três células tiverem candidatos (p,q,r), (p,q), e (q,r) ou apenas (p,r), (p,q), e (q,r), todos os valores de (p,q,r) em qualquer outra parte dentro desse mesmo conjunto podem ser eliminados.

O princípio é verdadeiro para todas as quantidades de números candidatos. Um segundo princípio relacionado é também verdadeiro. Se, dentro de qualquer conjunto de células (linha, coluna ou região), um conjunto de números candidatos pode somente aparecer dentro de um número de células iguais à quantidade de números candidatos, as células e os números são combinados e somente aqueles números podem aparecer nas células combinadas.

Outros candidatos nas células combinadas podem ser eliminados. Por exemplo, se os 2 números (p,q) podem somente aparecer em 2 células dentro de uma combinação específica de células (linha, coluna ou região), todos os candidatos restantes naquelas 2 células podem ser eliminados.

O primeiro princípio é baseado nas células onde somente os números combinados aparecem.

O segundo é baseado nos números que aparecem somente em células combinadas. A validade de um ou outro princípio é demonstrada fazendo-se a pergunta, ‘Colocando o número eliminado impediria a conclusão das outras colocações necessárias?’ se a resposta à pergunta é ‘Sim,’ então o número candidato na pergunta pode ser eliminado. As técnicas avançadas contém estes mesmos conceitos além de incluir múltiplas linhas, colunas, e regiões nas análises.

  • Na maneira tentativa-erro, uma célula com somente dois números candidatos é selecionada, e uma suposição é feita. As etapas acima são repetidas a menos que uma duplicação for encontrada ou uma célula ficar com nenhum candidato possível, em que caso o candidato alternativo é a solução. Em termos lógicos, isto é conhecido como reductio ad absurdum. Nishio é um forma limitada desta para esta maneira: para cada candidato para uma célula, a pergunta a ser feita será: Colocando um número em particular impedirá a conclusão das outras colocações desse número? Se a resposta for sim, então esse candidato pode ser eliminado. A metodologia e se requerer lápis e borracha. Esta metodologia pode ser desdenhada pelos puristas da lógica como tentativa e erro (e a maioria dos puzzles publicados são construídos para se assegurar de que nunca seja necessário recorrer a esta tática,) mas pode encontrar-se as soluções razoavelmente rápido.

Idealmente é necessário que se descubra uma combinação de técnicas que evite alguns inconvenientes dos elementos acima. A contagem de regiões, linhas e colunas pode parecer chato. Escrever números candidatos nas células em branco pode consumir tempo. A técnica da “tentativa-erro” pode ser confusa, a menos que você seja muito organizado.

O objectivo é encontrar uma técnica que minimize a contagem, a marcação de números candidatos, e necessidade de apagá-los. Se por acaso utilizar a técnica tentativa-erro, é porque o criador do puzzle não tem gosto pelo jogo, e é a favor do método da força bruta, estando assim porventura a eliminar alguma da beleza do jogo, que é precisamente de encontrar uma solução com base em raciocínio lógico e não em suposições…

Níveis de Dificuldade

Publicadores de passatempos geralmente classificam-nos por nível de dificuldade. Surpreendentemente o número de pistas dadas tem pouca ou nenhuma relação com o nível de dificuldade do jogo. Um jogo com um número pequeno de pistas dadas pode ser muito fácil de resolver, e um jogo com um número maior do que a média de pistas dadas pode ser extremamente difícil de resolver.

A dificuldade de um jogo está mais baseada na relevância e no posicionamento das dicas dadas do que a quantidade de números. Solucionadores por computador podem estimar a dificuldade que terá um ser humano para encontrar a solução, baseado na complexidade técnica de solução necessária.

Esta estimativa permite que os publicadores customizem seus enigmas de Sudoku às audiências com diversos níveis de experiência. Algumas versões online oferecem diversos níveis da dificuldade. A maioria das publicações classifica seus enigmas do Sudoku em quatro níveis de dificuldade, embora, devido a sua subjetividade, os pontos reais de corte dos níveis e inclusive os nomes dos níveis possam variar amplamente.

Tipicamente, entretanto, os títulos de alguns jogos são classificados de “fácil”, “intermediário”, “difícil”, e “desafiador”.


Construção

É possível estabelecer grades iniciais com mais de uma solução possível e estabelecer grades com nenhuma solução, mas tais não são considerados enigmas apropriados para o Sudoku; assim como na maioria dos outros enigmas de lógica pura, uma única solução possível é esperada.

Construir um Puzzle Sudoku manualmente pode ser executado eficientemente através da pré-determinação das dicas e designando a elas somente os valores necessários para que se consiga fazer um progresso dedutivo. Também uma dica indefinida pode ser adicionada para que não se impeça a solução de nenhum valor em particular ou que de tal maneira seja colocado um valor diferente na grade antes que a construção esteja terminada; o solucionador deve ser capaz de fazer as mesmas deduções detendo-se nestas suposições, já que nesse ponto a dica é muito mais definitiva que qualquer outra coisa.

Esta técnica dá ao construtor um maior controle sobre o fluxo do enigma a ser resolvido, conduzindo ao solucionador ao longo do mesmo trajeto que o compilador utilizou para construir o enigma (esta técnica também é adaptável para se compor outros puzzles além do Sudoku).

Um grande cuidado é necessário, entretanto, em não conseguir reconhecer onde um número pode ser logicamente deduzido em qualquer ponto da construção — sem considerar de quão tortuosa a lógica pode ser — pode resultar em um enigma insolucionável ao definir futuras dicas contraditórias com os números que já foram construídos.

Construir um Sudoku com dicas simétricas é uma simples questão de colocar as dicas indefinidas em um padrão simétrico para se iniciar a solução. A crença geral é de que os jogos Sudoku (Number Place) da Dell Magazines são gerados por computador; eles normalmente possuem mais de 30 dicas espalhadas aparentemente de maneira aleatória, muitas das quais podem possivelmente serem deduzidas a partir de outras dicas.

Eles também não têm os créditos do autor – que é, o nome do construtor não está impresso em nenhum puzzle. Wei-Hwa Huang reivindica que ele foi comissionado pela Dell para escrever um gerador de Sudoku no inverno de 2000; antes disto, ele disse, os puzzles eram gerados manualmente.

O gerador de puzzles foi escrito através do Visual C++, e embora tivesse opções de gerar mais puzzles no estilo Japonês, com simetria e menos números, a Dell optou em não adotar estas características, ao menos não até sua recente publicação de revistas apenas de Sudoku.

Os Sudokus da Nikoli são construídos manualmente, com o crédito para o autor; as dicas são geralmente encontradas em um padrão simétrico. Os jogos Number Place Challenger (veja Variantes abaixo) da Dell também listam seus autores. Os jogos Sudoku impressos na maioria dos jornais da Grã-Bretanha são aparentemente gerados por computador, mas empregam dicas simétricas; The Guardian é licenciado e publica os puzzles Sudoku construídos pela Nikoli, apesar disso ele não incluí os créditos autorais.

The Guardian conhecidamente os solicitou por que estes eram manualmente construídos, seus enigmas conteriam “detalhes imperceptíveis” que seriam muito improváveis em Sudokus gerados por computador. O desafio para os programadores de Sudoku é ensinar um programa como construir jogos “inteligentes”, de tal maneira que eles se tornem indistinguíveis dos construídos por humanos; Wayne Gould passou seis anos ajustando o seu popular programa até que acreditou que tinha conseguido atingir este nível.

Variantes

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Apesar de a grade 9×9 com regiões 3×3 ser de longe a mais conhecida, diversas variações abundam: amostras do puzzles podem ser grades de 4×4 com regiões 2×2; grades 5×5 regiões pentaminó tem sido publicadas sob o nome Logi-5; o World Puzzle Championship apresentou anteriormente grades 6×6 com regiões 2×3 e grades 7×7 com 6 regiões heptominó e com regiões desconexas. Daily SuDoku apresenta novas grades 4×4, 6×6, e mais simples 9×9 todos os dias com Daily SuDoku for Kids (Sudoku diário para crianças) [1].

publicando regularmente alguns com regiões Mesmo as grades 9×9 não são sempre padrões, com a Ebbnonominó (também conhecido como variação quebra-cabeça); o 2005 U.S. Puzzle Championship tinha um Sudoku com regiões em paralelogramo que circundavam a parte exterior do puzzle, como-se a grade fosse uma arruela quadrada.

Grades maiores também são possíveis, com o Daily SuDoku’s 12×12 Monster SuDoku [2], o Times igualmente oferece um com grade 12×12 Dodeka sudoku com 12 regiões cada uma sendo 4×3, o sítio Conceptis Puzzles oferece gratuitamente um puzzle 12×12 (Mega Sudoku)por semana, a Dell regularmente publica 16×16 Number Place Challenger puzzles (a variação 16×16 geralmente utiliza 1 até G ao invés do 0 até o F utilizado em notações hexadecimais), e a Nikoli oferece o enorme 25×25 Sudoku the Giant.

Outra variação comum é para ter restrições adicionais, forçar a colocação de números além dos requisitos normais para as linhas, colunas e regiões. Geralmente a restrição toma forma de uma “dimensão” extra; o mais comum é que os números nas diagonais principais da grade, também devem ser únicos (não podem ser repetidos).

Os supracitados Number Place Challenger puzzles, fazem parte desta variante, assim como o Sudoku X no Daily Mail, o qual utiliza grades 6×6. O Daily Mail também apresenta o Super Sudoku X em sua edição de final-de-semana: uma grade 8×8 na quais as linhas, colunas, e diagonais principais, blocos 2×4 e blocos 4×2 contêm cada número apenas uma vez bem como as suas diagonais principais; Conceptis Puzzles apresenta o Diagonal Sudoku em uma grade 9×9 e blocos 3×3 com as mesmas regras supracitadas.

Uma dimensão também utilizada é com os dígitos com as mesmas posições relativas em suas respectivas regiões; porém as regiões não formam um paralelogramo e possuem formatos variados e desconexos, neste formato Conceptis Puzzles apresenta o Irregular Sudoku, enquanto que algumas editoras também se utilizam de cores diferentes em cada grupo desconexo para uma melhor identificação de cada grupo de números.

Também pode ser encontrado o Circular Sudoku, também conhecido como Target Sudoku, inventado pelo matemático Peter Higgins [3] [4]. Nesta variante, todos os números devem aparecer em círculos concêntricos bem como em todos os pares de fatias adjacentes.

Outros tipos de restrições extras podem ser de natureza aritmética, tais como, exigindo que os números em um delineado segmento da grade tenham uma soma ou um produto específico (um exemplo pode ser o Killer Su Doku do The Times).

Outros que nem o like Magic Sudoku [5] adicionam algumas restrições (diagonais de 1 a 9, e cores) ao Sudoku padrão para resolvê-lo com menos números. Passatempos construídos a partir de múltiplas grades Sudoku são comuns. Cinco grades 9×9 as quais sobrepõem se umas as outras nas regiões dos cantos, e são conhecidas no Japão como Gattai 5 (cinco unidos) Sudoku.

No The Times e no The Sydney Morning Herald esta forma de passatempo é conhecida como Samurai SuDoku [6]. No Conceptis Puzzles são publicados semanalmente os Multi Sudoku que são compostos de duas a cinco grades sobrepostas. Passatempos com vinte ou mais grades sobrepostas não são incomuns em algumas publicações japonesas. Geralmente, nenhuma dica é encontrada nas regiões sobrepostas. Variações alfabéticas também surgiram; não há nenhuma diferença funcional no passatempo, a não ser se as letras significam alguma algo.

Recentes variantes têm esta característica, geralmente em forma de palavra lida ao longo da diagonal principal depois de encontrada a solução; determinar a palavra antecipadamente pode ser visto como um auxílio para a solução. O Code Doku inventado por [7]Steve Schaefer tem uma sentença completa embutida no passatempo; o Super Wordoku [8] da Top Notch contém duas palavras de nove letras, uma em cada diagonal. É discutível se estas formas são verdadeiros Sudokus, contudo elas contêm uma solução “linguisticamente” válida, e não podem necessariamente serem resolvidas inteiramente através da lógica, fazendo-se necessário que o solucionador determine a palavra embutida.

Top Notch diz que esta característica foi projetada para derrotar os programas de computadores de solução. Seguem alguns exemplos únicos de variação:

  • Um passatempo Sudoku tridimensional foi inventado por Dion Church e publicado no Daily Telegraph em Maio de 2005.
  • Michael Metcaff criou um Sudoku de 100×100, publicado para o grupo do Yahoo! Sudokuworld.


Matemática do Sudoku

O problema geral de solucionar puzzles Sudoku em tabuleiros n² × n² de blocos n × n é conhecido como NP-completo [9]. Isto dá algumas indicações de porque o Sudoku que conhece toda a é difícil de resolver, contudo em tabuleiros de tamanhos finitos o problema é finito e pode ser solucionado através de um autômato finito probabilísticoárvore do jogo.

Solucionar puzzles Sudoku (assim como qualquer outro problema NP-difícil) pode ser expresso como um problema de preenchimento gráfico de cores. O objetivo do puzzle em sua forma padrão é construir gráfico apropriado de 9 colorações, informando parcialmente as 9 colorações.

O gráfico em questão tem 81 vértices, uma interpolação em cada célula da grade. Os vértices podem ser rotulados com os pares ordenados (x,, y), onde x e y são números inteiros entre 1 e 9. Neste caso, dois vértices distintos rotulados por (x,, y) e (x',, y') são conectados por uma borda se e apenas se:

  •  x = x', ou,
  •  y = y', ou,
  •  lceil x/3 rceil = lceil x'/3 rceil e  lceil y/3 rceil = lceil y'/3 rceil

O puzzle é então completado designando-se um número inteiro entre 1 e 9 para cada interpolação , de tal maneira que os vértices que são unidos através de uma borda não tenham nenhum número inteiro igual designado neles.

Uma grade de solução válida para o Sudoku é também um Quadrado latino. Há significativamente menos soluções de grades de Sudoku válidas do que os Quadrados Latinos, porque o Sudoku impõe restrições de região adicionais. Apesar disso, o número de solução de Sudoku para uma grade padrão de 9×9 foram calculados em 2005 por Bertram Felgenhauer como sendo 6.670.903.752.021.072.936.960 [10]. Este número é igual a 9! × 72² × 27 × 27.704.267.971, o último fator o qual é um número primo.

O resultado é derivado através da lógica e computação força bruta. A derivação deste resultado foi simplificada consideravelmente por análises fornecidas por Frazer Jarvis e o número foi confirmado independentemente por Ed Russell. Russel e Jarvis também demonstraram de que quando as simetrias são levadas em conta, havia 5.472.730.538 soluções [11]. O número de soluções válidas para a variação do Sudoku de uma grade 16×16 é desconhecido.

Fonte: Wikipedia

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  1. 2 respostas to “Sudoku, saiba mais sobre esse incrivel passatempo!”

  2. Por larissa.legal Em Jun 26, 2010 | Responder

    O SUDOKU E MUITO LEGAL NA MINHA ESCOLA EU ESTOU APRENDENDO SUDOKU ELE ENSINA A GENTE APRENDER MAIS A MATEMATICA E MUITO BOM EU ADORO O SUDOKU EU JA FIZ SUDOKUS NA MINHA ESCOLA E OTIMO CEMPRE QUANDO ENTRO NO COMPUTADOR EU JOGO SUDOKU ENTRO EM QUALQUEM UM E JOGO EU E MINHA MAE NOS JOGAMOS O SUDOKU E OTIMO NE GENTE SUDOKU E O MELHOR JOGO…TCUAU

  3. Por larissa.legal Em Jun 26, 2010 | Responder

    E LEGAL DE MAIS

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